Mathematische Finanzierung

DieFinanzmathematik, auch bekannt als Quantitative Finance und Finanzmathematik, ist ein Bereich der angewandten Mathematik, der sich mit der mathematischen Modellierung von Finanzmärkten befasst. Siehe Quantitativer Analytiker.

Im Allgemeinen gibt es zwei getrennte Finanzzweige, die fortgeschrittene quantitative Techniken erfordern: die Preisgestaltung für Derivate einerseits und das Risiko- und Portfoliomanagement andererseits.
Die Finanzmathematik überschneidet sich stark mit den Bereichen Computational Finance und Financial Engineering. Letzteres konzentriert sich auf Anwendungen und Modellierung, oft mit Hilfe stochastischer Modelle für Vermögenswerte, während ersteres sich neben der Analyse auf die Entwicklung von Instrumenten zur Umsetzung der Modelle konzentriert.
Ebenfalls verwandt ist das quantitative Investieren, das sich bei der Verwaltung von Portfolios auf statistische und numerische Modelle (und neuerdings auf maschinelles Lernen) im Gegensatz zur traditionellen Fundamentalanalyse stützt.

Der französische Mathematiker Louis Bachelier gilt als Autor der ersten wissenschaftlichen Arbeit über mathematische Finanzen, die im Jahr 1900 veröffentlicht wurde. Die mathematische Finanzwissenschaft entwickelte sich jedoch erst in den 1970er Jahren als Disziplin, nachdem Fischer Black, Myron Scholes und Robert Merton die Theorie der Optionspreise entwickelt hatten. Das mathematische Investieren geht auf die Forschungen des Mathematikers Edward Thorp zurück, der mit Hilfe statistischer Methoden zunächst das Kartenzählen beim Blackjack erfand und dessen Grundsätze dann auf das moderne systematische Investieren anwendete.

Das Thema steht in enger Beziehung zur Finanzwirtschaft, die sich mit einem Großteil der zugrundeliegenden Theorie der Finanzmathematik befasst.
Im Allgemeinen werden in der Finanzmathematik die mathematischen oder numerischen Modelle abgeleitet und erweitert, ohne dass notwendigerweise eine Verbindung zur Finanztheorie hergestellt wird, wobei die beobachteten Marktpreise als Input dienen. Es wird mathematische Konsistenz verlangt, nicht Kompatibilität mit der Wirtschaftstheorie. Während zum Beispiel ein Finanzökonom die strukturellen Gründe untersucht, warum ein Unternehmen einen bestimmten Aktienkurs hat, kann ein Finanzmathematiker den Aktienkurs als gegeben ansehen und versuchen, mit Hilfe der stochastischen Kalkulation den entsprechenden Wert der Derivate der Aktie zu ermitteln.
Siehe: Bewertung von Optionen; Finanzmodellierung; Bewertung von Vermögenswerten.
Das Fundamentaltheorem der arbitragefreien Preisbildung ist eines der wichtigsten Theoreme der Finanzmathematik, während die Black-Scholes-Gleichung und -Formel zu den wichtigsten Ergebnissen gehören.

Heute bieten viele Universitäten Studien- und Forschungsprogramme im Bereich der Finanzmathematik an.

Geschichte: Q versus P

Es gibt zwei getrennte Finanzzweige, die fortgeschrittene quantitative Techniken erfordern: die Preisbildung für Derivate sowie das Risiko- und Portfoliomanagement. Einer der Hauptunterschiede besteht darin, dass sie unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten verwenden, z. B. die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit (oder Arbitrage-Preis-Wahrscheinlichkeit), die mit „Q“ bezeichnet wird, und die tatsächliche (oder versicherungsmathematische) Wahrscheinlichkeit, die mit „P“ bezeichnet wird.

Preisbildung bei Derivaten: die Q-Welt

Die Q-Welt
Ziel „die Gegenwart extrapolieren“
Umwelt risikoneutrale Wahrscheinlichkeit





Q



(HESTON) }

Prozesse zeitkontinuierliche Martingale
Dimension niedrig
Werkzeuge Itō-Kalkül, PDEs
Herausforderungen Kalibrierung
Unternehmen Sell-Side

Das Ziel der Preisbildung bei Derivaten besteht darin, den fairen Preis eines bestimmten Wertpapiers im Verhältnis zu liquideren Wertpapieren zu bestimmen, deren Preis durch das Gesetz von Angebot und Nachfrage bestimmt wird. Die Bedeutung von „fair“ hängt natürlich davon ab, ob man den Kauf oder Verkauf des Wertpapiers in Betracht zieht. Beispiele für Wertpapiere, die bewertet werden, sind einfache und exotische Optionen, Wandelanleihen usw.

Sobald ein fairer Preis ermittelt wurde, kann der Händler auf der Verkaufsseite einen Markt für das Wertpapier schaffen. Die Preisbildung bei Derivaten ist also eine komplexe „Extrapolations“-Übung, um den aktuellen Marktwert eines Wertpapiers zu bestimmen, der dann von der Sell-Side-Community verwendet wird.
Die quantitative Preisbildung bei Derivaten wurde von Louis Bachelier in der Theorie der Spekulation („Théorie de la spéculation“, veröffentlicht 1900) mit der Einführung des grundlegendsten und einflussreichsten Prozesses, der Brownschen Bewegung, und seiner Anwendung auf die Preisbildung bei Optionen begründet.

Die Theorie schlummerte, bis Fischer Black und Myron Scholes zusammen mit grundlegenden Beiträgen von Robert C. Merton den zweitwichtigsten Prozess, die geometrische Brownsche Bewegung, auf die Preisbildung von Optionen anwendeten. Dafür erhielten M. Scholes und R. Merton 1997 den Nobel-Gedächtnispreis für Wirtschaftswissenschaften. Black kam für den Preis nicht mehr in Frage, da er 1995 starb.

Der nächste wichtige Schritt war das fundamentale Theorem der Preisbildung von Vermögenswerten von Harrison und Pliska (1981), demzufolge der angemessen normalisierte aktuelle Preis P0 eines Wertpapiers nur dann arbitragefrei und damit wirklich fair ist, wenn es einen stochastischen Prozess Pt mit konstantem Erwartungswert gibt, der seine zukünftige Entwicklung beschreibt:





P

0


=


E


0


(

P

t


)


{displaystyle P_{0}=mathbf {E} _{0}(P_{t})}

(1)

Ein Prozess, der(1) erfüllt, wird als „Martingal“ bezeichnet. Ein Martingal belohnt kein Risiko. Daher wird die Wahrscheinlichkeit des normalisierten Wertpapierpreisprozesses als „risikoneutral“ bezeichnet und in der Regel mit dem Tafelbuchstaben „





Q



{displaystyle mathbb {Q} }

„.

Die Beziehung(1) muss für alle Zeiten t gelten: Daher sind die für die Preisbildung von Derivaten verwendeten Prozesse natürlich zeitkontinuierlich.

Die Quants, die in der Q-Welt der Preisbildung von Derivaten tätig sind, sind Spezialisten mit tiefem Wissen über die spezifischen Produkte, die sie modellieren.

Die Wertpapiere werden einzeln bewertet, und daher sind die Probleme in der Q-Welt niedrigdimensionaler Natur.
Die Kalibrierung ist eine der größten Herausforderungen in der Q-Welt: Sobald ein zeitkontinuierlicher parametrischer Prozess durch eine Beziehung wie(1) auf eine Reihe von gehandelten Wertpapieren kalibriert wurde, wird eine ähnliche Beziehung verwendet, um den Preis neuer Derivate zu definieren.

Die wichtigsten quantitativen Werkzeuge, die für die Behandlung von zeitkontinuierlichen Q-Prozessen erforderlich sind, sind die stochastische Kalkulation von Itô, die Simulation und partielle Differentialgleichungen (PDEs).

Risiko- und Portfoliomanagement: die P-Welt

Die P-Welt
Zielsetzung „Die Zukunft modellieren“
Umwelt reale Wahrscheinlichkeit





P



{displaystyle mathbb {P} }

Prozesse zeitdiskrete Reihen
Dimension groß
Werkzeuge multivariate Statistik
Herausforderungen Schätzung
Unternehmen Einkaufsseite

Das Risiko- und Portfoliomanagement zielt auf die Modellierung der statistisch abgeleiteten Wahrscheinlichkeitsverteilung der Marktpreise aller Wertpapiere zu einem bestimmten zukünftigen Anlagehorizont ab.
Diese „reale“ Wahrscheinlichkeitsverteilung der Marktpreise wird typischerweise mit dem Tafelbuchstaben „





P



{displaystyle mathbb {P} }

“ bezeichnet, im Gegensatz zur „risikoneutralen“ Wahrscheinlichkeitsverteilung „





Q



{displaystyle mathbb {Q} }

„, die bei der Preisbildung für Derivate verwendet wird. Auf der Grundlage der P-Verteilung trifft die Käuferseite Entscheidungen darüber, welche Wertpapiere gekauft werden sollen, um das voraussichtliche Gewinn- und Verlustprofil ihrer als Portfolio betrachteten Positionen zu verbessern. Zunehmend werden Elemente dieses Prozesses automatisiert; eine Auflistung einschlägiger Artikel finden Sie unter Überblick über das Finanzwesen § Quantitatives Investieren.

Für ihre bahnbrechenden Arbeiten erhielten Markowitz und Sharpe zusammen mit Merton Miller 1990 den Nobel-Gedächtnispreis für Wirtschaftswissenschaften, der zum ersten Mal für eine Arbeit im Finanzbereich verliehen wurde.

Durch die Arbeit von Markowitz und Sharpe zur Portfolioauswahl wurde die Mathematik in das Anlagemanagement eingeführt. Mit der Zeit wurde die Mathematik immer ausgefeilter. Dank Robert Merton und Paul Samuelson wurden Modelle mit einer Periode durch Modelle mit kontinuierlicher Zeit und Brownscher Bewegung ersetzt, und die quadratische Nutzenfunktion, die in der Mean-Variance-Optimierung enthalten ist, wurde durch allgemeinere steigende, konkave Nutzenfunktionen ersetzt.

Es wurden große Anstrengungen unternommen, um die Finanzmärkte zu untersuchen und zu erforschen, wie sich die Preise mit der Zeit verändern.
Charles Dow, einer der Gründer von Dow Jones & Company und dem Wall Street Journal, stellte eine Reihe von Ideen zu diesem Thema auf, die heute als Dow-Theorie bezeichnet werden. Sie bildet die Grundlage für die so genannte technische Analyse, mit der versucht wird, künftige Veränderungen vorherzusagen. Eine der Lehren der „technischen Analyse“ ist, dass die Markttrends einen Hinweis auf die Zukunft geben, zumindest auf kurze Sicht. Die Behauptungen der technischen Analysten werden von vielen Wissenschaftlern angezweifelt.

Kritik

Im Laufe der Jahre wurden immer ausgefeiltere mathematische Modelle und Strategien für die Preisgestaltung von Derivaten entwickelt, deren Glaubwürdigkeit jedoch durch die Finanzkrise von 2007-2010 beschädigt wurde.
Die zeitgenössische Praxis der Finanzmathematik wurde von Persönlichkeiten innerhalb des Fachgebiets kritisiert, insbesondere von Paul Wilmott und Nassim Nicholas Taleb in seinem Buch The Black Swan, das einige der schwerwiegendsten Bedenken anspricht.
Einrichtungen wie das Institute for New Economic Thinking versuchen nun, neue Theorien und Methoden zu entwickeln.

Generell wird die Modellierung der Veränderungen durch Verteilungen mit endlicher Varianz zunehmend als unangemessen angesehen.

Siehe auch

Mathematische Hilfsmittel

  • Asymptotische Analyse
  • Kalkül
  • Kopulas, einschließlich Gaußsche
  • Differentialgleichungen
  • Erwartungswert
  • Ergodentheorie
  • Feynman-Kac-Formel
  • Finanzen § Quantitative Finanzen
  • Fourier-Transformation
  • Girsanow-Theorem
  • Itôs Lemma
  • Martingale-Vertretungstheorem
  • Mathematische Modelle
  • Mathematische Optimierung
    • Lineare Programmierung
    • Nichtlineare Programmierung
    • Quadratische Programmierung
  • Monte-Carlo-Verfahren
  • Numerische Analyse
    • Gaußsche Quadratur
  • Reelle Analyse
  • Partielle Differentialgleichungen
    • Wärmegleichung
    • Numerische partielle Differentialgleichungen
      • Crank-Nicolson-Verfahren
      • Finite-Differenzen-Methode
  • Wahrscheinlichkeit
  • Wahrscheinlichkeitsverteilungen
    • Binomialverteilung
    • Johnson’s SU-Verteilung
    • Log-Normal-Verteilung
    • Student’s t-Verteilung
  • Quantil-Funktionen
  • Radon-Nikodym-Ableitung
  • Risikoneutrales Maß
  • Szenario-Optimierung
  • Stochastische Kalküle
    • Brownsche Bewegung
    • Lévy-Prozess
  • Stochastische Differentialgleichung
  • Stochastische Optimierung
  • Stochastische Volatilität
  • Survival-Analyse
  • Value-at-Risk
  • Volatilität
    • ARCH-Modell
    • GARCH-Modell

Bewertung von Derivaten

  • Das Brownsche Modell der Finanzmärkte
  • Rationale Preisbildungsannahmen
    • Risikoneutrale Bewertung
    • Arbitragefreie Preisbildung
  • Berichtigungen der Bewertung
    • Anpassung der Kreditbewertung
    • XVA
  • Modellierung der Renditekurve
    • Multi-Kurven-Rahmen
    • Bootstrapping
    • Konstruktion aus Marktdaten
    • Festverzinsliche Attribution
    • Nelson-Siegel
    • Prinzipielle Komponentenanalyse
  • Formel für Terminpreise
  • Preisbildung von Terminkontrakten
  • Bewertung von Swaps
    • Währungsswap#Bewertung und Preisgestaltung
    • Zinsswap#Bewertung und Preisbildung
      • Multi-Kurven-Rahmen
    • Varianz-Swap#Preisbildung und Bewertung
    • Asset-Swap#Berechnung des Asset-Swap-Spreads
    • Credit Default Swap #Bewertung und Preisgestaltung
  • Optionen
    • Put-Call-Parität (Arbitragebeziehungen für Optionen)
    • Intrinsischer Wert, Zeitwert
    • Moneyness
    • Preisbildungsmodelle
      • Black-Scholes-Modell
      • Black-Modell
      • Binomiales Optionsmodell
        • Implizierter Binomialbaum
        • Edgeworth-Binomialbaum
      • Monte-Carlo-Optionsmodell
      • Implizite Volatilität, Volatilitäts-Smile
      • Lokale Volatilität
      • Stochastische Volatilität
        • Modell der konstanten Elastizität der Varianz
        • Heston-Modell
          • Stochastischer Volatilitätssprung
        • SABR-Volatilitätsmodell
      • Markov-Schalt-Multifraktal
      • Die Griechen
      • Finite-Differenzen-Methoden für die Optionsbewertung
      • Vanna-Volga-Bewertung
      • Trinomialbaum
        • Implizierter Trinomialbaum
      • Garman-Kohlhagen-Modell
      • Gittermodell (Finanzen)
      • Margrabe-Formel
    • Preisbildung von amerikanischen Optionen
      • Barone-Adesi und Whaley
      • Bjerksund und Stensland
      • Blacks Approximation
      • Least Square Monte Carlo
      • Optimales Anhalten
      • Roll-Geske-Whaley
  • Zinsderivate
    • Schwarzes Modell
      • Caps und Floors
      • Swaptions
      • Anleihe-Optionen
    • Kurzfristige Modelle
      • Rendleman-Bartter-Modell
      • Vasicek-Modell
      • Ho-Lee-Modell
      • Hull-White-Modell
      • Cox-Ingersoll-Ross-Modell
      • Schwarz-Karasinski-Modell
      • Schwarz-Derman-Toy-Modell
      • Kalotay-Williams-Fabozzi-Modell
      • Longstaff-Schwartz-Modell
      • Chen-Modell
    • Forward-Rate-basierte Modelle
      • LIBOR-Marktmodell (Brace-Gatarek-Musiela-Modell, BGM)
      • Heath-Jarrow-Morton-Modell (HJM)

Portfolio-Modellierung

Andere

  • Brownsches Modell der Finanzmärkte
  • Finanzmathematik
  • Derivate (Finanzen), Liste der Derivate-Themen
  • Ökonomisches Modell
  • Wirtschaftsphysik
  • Finanzwirtschaft
  • Finanz-Engineering
  • Finanzmodellierung § Quantitative Finanzen
  • Internationaler Verband für Swaps und Derivate
  • Verzeichnis der Artikel zur Rechnungslegung
  • Liste der Wirtschaftswissenschaftler
  • Master of Quantitative Finance
  • Überblick über die Wirtschaftswissenschaften
  • Überblick über das Finanzwesen
  • Physik der Finanzmärkte
  • Quantitative verhaltensorientierte Finanzwirtschaft
  • Statistische Finanzwissenschaft
  • Technische Analyse
  • XVA
  • Quantum Finanzen

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